线性代数

一、基本知识

1. 本书中所有的向量都是列向量的形式：

   $$\mathbf{\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}$$

   本书中所有的矩阵 $\mathbf X\in \mathbb R^{m\times n}$ 都表示为：

   $$\mathbf X = \begin{bmatrix} x_{1,1}&x_{1,2}&\cdots&x_{1,n}\\ x_{2,1}&x_{2,2}&\cdots&x_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{m,1}&x_{m,2}&\cdots&x_{m,n}\\ \end{bmatrix}$$

   简写为：$(x_{i,j})_{m\times n}$ 或者 $[x_{i,j}]_{m\times n}$ 。

2. 矩阵的F范数：设矩阵 $\mathbf A=(a_{i,j})_{m\times n}$，则其F 范数为：$||\mathbf A||_F=\sqrt{\sum_{i,j}a_{i,j}^{2}}$ 。

   它是向量的 $L_2$ 范数的推广。

3. 矩阵的迹：设矩阵 $\mathbf A=(a_{i,j})_{m\times n}$，则$\mathbf A$的迹为： $tr(\mathbf A)=\sum_{i}a_{i,i}$。

   迹的性质有：

   • $\mathbf A$ 的F 范数等于$\mathbf A\mathbf A^T$ 的迹的平方根：$||\mathbf A||_F=\sqrt{tr(\mathbf A \mathbf A^{T})}$ 。
   • $\mathbf A$ 的迹等于$\mathbf A^T$ 的迹：$tr(\mathbf A)=tr(\mathbf A^{T})$ 。
   • 交换律：假设 $\mathbf A\in \mathbb R^{m\times n},\mathbf B\in \mathbb R^{n\times m}$，则有：$tr(\mathbf A\mathbf B)=tr(\mathbf B\mathbf A)$ 。
   • 结合律：$tr(\mathbf A\mathbf B\mathbf C)=tr(\mathbf C\mathbf A\mathbf B)=tr(\mathbf B\mathbf C\mathbf A)$ 。

二、向量操作

1. 一组向量 $\mathbf{\vec v}_1,\mathbf{\vec v}_2,\cdots,\mathbf{\vec v}_n$ 是线性相关的：指存在一组不全为零的实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，使得： $\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf{\vec v}_i=\mathbf{\vec 0}$ 。

   一组向量 $\mathbf{\vec v}_1,\mathbf{\vec v}_2,\cdots,\mathbf{\vec v}_n$ 是线性无关的，当且仅当 $a_i=0,i=1,2,\cdots,n$ 时，才有：$\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf{\vec v}_i=\mathbf{\vec 0}$ 。

2. 一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数目，称作该向量空间的维数。

3. 三维向量的点积：$\mathbf{\vec u}\cdot\mathbf{\vec v} =u _xv_x+u_yv_y+u_zv_z = |\mathbf{\vec u}| | \mathbf{\vec v}| \cos(\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v})$ 。

   

4. 三维向量的叉积：

   $$\mathbf{\vec w}=\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v}=\begin{bmatrix}\mathbf{\vec i}& \mathbf{\vec j}&\mathbf{\vec k}\\ u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ \end{bmatrix}$$

   其中 $\mathbf{\vec i}, \mathbf{\vec j},\mathbf{\vec k}$ 分别为 $x,y,z$ 轴的单位向量。

   $$\mathbf{\vec u}=u_x\mathbf{\vec i}+u_y\mathbf{\vec j}+u_z\mathbf{\vec k},\quad \mathbf{\vec v}=v_x\mathbf{\vec i}+v_y\mathbf{\vec j}+v_z\mathbf{\vec k}$$

   ​

   • $\mathbf{\vec u}$ 和 $\mathbf{\vec v}$ 的叉积垂直于 $\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v}$ 构成的平面，其方向符合右手规则。
   • 叉积的模等于 $\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v}$ 构成的平行四边形的面积
   • $\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v}=-\mathbf{\vec v}\times \mathbf{\vec u}$
   • $\mathbf{\vec u}\times( \mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w})=(\mathbf{\vec u}\cdot \mathbf{\vec w})\mathbf{\vec v}-(\mathbf{\vec u}\cdot \mathbf{\vec v})\mathbf{\vec w}$

   

5. 三维向量的混合积：

   $$[\mathbf{\vec u} \;\mathbf{\vec v} \;\mathbf{\vec w}]=(\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v})\cdot \mathbf{\vec w}= \mathbf{\vec u}\cdot (\mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w})\\ =\begin{vmatrix} u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ w_x&w_y&w_z \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} u_x&v_x&w_x\\ u_y&v_y&w_y\\ u_z&v_z&w_z\end{vmatrix}$$

   其物理意义为：以 $\mathbf{\vec u} ,\mathbf{\vec v} ,\mathbf{\vec w}$ 为三个棱边所围成的平行六面体的体积。 当 $\mathbf{\vec u} ,\mathbf{\vec v} ,\mathbf{\vec w}$ 构成右手系时，该平行六面体的体积为正号。

6. 两个向量的并矢：给定两个向量 $\mathbf {\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}, \mathbf {\vec y}= (y_1,y_2,\cdots,y_m)^{T}$ ，则向量的并矢记作：

   $$\mathbf {\vec x}\mathbf {\vec y} =\begin{bmatrix}x_1y_1&x_1y_2&\cdots&x_1y_m\\ x_2y_1&x_2y_2&\cdots&x_2y_m\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&x_ny_2&\cdots&x_ny_m\\ \end{bmatrix}$$

   也记作 $\mathbf {\vec x}\otimes\mathbf {\vec y}$ 或者 $\mathbf {\vec x} \mathbf {\vec y}^{T}$。

三、矩阵运算

1. 给定两个矩阵 $\mathbf A=(a_{i,j}) \in \mathbb R^{m\times n},\mathbf B=(b_{i,j}) \in \mathbb R^{m\times n}$ ，定义：

   • 阿达马积Hadamard product（又称作逐元素积）：

     $$\mathbf A \circ \mathbf B =\begin{bmatrix} a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}&\cdots&a_{1,n}b_{1,n}\\ a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}&\cdots&a_{2,n}b_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m,1}b_{m,1}&a_{m,2}b_{m,2}&\cdots&a_{m,n}b_{m,n}\end{bmatrix}$$

   • 克罗内积Kronnecker product：

     $$\mathbf A \otimes \mathbf B =\begin{bmatrix}a_{1,1}\mathbf B&a_{1,2}\mathbf B&\cdots&a_{1,n}\mathbf B\\ a_{2,1}\mathbf B&a_{2,2}\mathbf B&\cdots&a_{2,n}\mathbf B\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m,1}\mathbf B&a_{m,2}\mathbf B&\cdots&a_{m,n}\mathbf B \end{bmatrix}$$

2. 设 $\mathbf {\vec x},\mathbf {\vec a},\mathbf {\vec b},\mathbf {\vec c}$ 为 $n$ 阶向量， $\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C,\mathbf X$ 为 $n$ 阶方阵，则有：

   $$\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf {\vec x}) }{\partial \mathbf {\vec x} }=\frac{\partial(\mathbf {\vec x}^{T}\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf {\vec x} } =\mathbf {\vec a}$$
   $$\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec a}\mathbf {\vec b}^{T}=\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec b}\in \mathbb R^{n\times n}$$
   $$\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec b}\mathbf {\vec a}^{T}=\mathbf {\vec b}\otimes\mathbf {\vec a}\in \mathbb R^{n\times n}$$
   $$\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf X }=\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec a}$$
   $$\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf X(\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec b}\otimes\mathbf {\vec a})$$
   $$\frac{\partial[(\mathbf A\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec a})^{T}\mathbf C(\mathbf B\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec b})]}{\partial \mathbf {\vec x}}=\mathbf A^{T}\mathbf C(\mathbf B\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec b})+\mathbf B^{T}\mathbf C(\mathbf A\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec a})$$
   $$\frac{\partial (\mathbf {\vec x}^{T}\mathbf A \mathbf {\vec x})}{\partial \mathbf {\vec x}}=(\mathbf A+\mathbf A^{T})\mathbf {\vec x}$$
   $$\frac{\partial[(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})^{T}\mathbf A(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})]}{\partial \mathbf X}=(\mathbf A+\mathbf A^{T})(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})\mathbf {\vec b}^{T}$$
   $$\frac{\partial (\mathbf {\vec b}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf A \mathbf X\mathbf {\vec c})}{\partial \mathbf X}=\mathbf A^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}\mathbf {\vec c}^{T}+\mathbf A\mathbf X\mathbf {\vec c}\mathbf {\vec b}^{T}$$

3. 如果 $f$ 是一元函数，则：

   • 其逐元向量函数为：$f(\mathbf{\vec x}) =(f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n))^{T}$ 。

   • 其逐矩阵函数为：

     $$f(\mathbf X)=\begin{bmatrix} f(x_{1,1})&f(x_{1,2})&\cdots&f(x_{1,n})\\ f(x_{2,1})&f(x_{2,2})&\cdots&f(x_{2,n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(x_{m,1})&f(x_{m,2})&\cdots&f(x_{m,n})\\ \end{bmatrix}$$

   • 其逐元导数分别为：

     $$f^{\prime}(\mathbf{\vec x}) =(f^{\prime}(x1),f^{\prime}(x2),\cdots,f^{\prime}(x_n))^{T}\\ f^{\prime}(\mathbf X)=\begin{bmatrix} f^{\prime}(x_{1,1})&f^{\prime}(x_{1,2})&\cdots&f^{\prime}(x_{1,n})\\ f^{\prime}(x_{2,1})&f^{\prime}(x_{2,2})&\cdots&f^{\prime}(x_{2,n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f^{\prime}(x_{m,1})&f^{\prime}(x_{m,2})&\cdots&f^{\prime}(x_{m,n})\\ \end{bmatrix}$$

4. 各种类型的偏导数：

   • 标量对标量的偏导数： $\frac{\partial u}{\partial v}$ 。

   • 标量对向量（$n$ 维向量）的偏导数 ：$\frac{\partial u}{\partial \mathbf {\vec v}}=(\frac{\partial u}{\partial v_1},\frac{\partial u}{\partial v_2},\cdots,\frac{\partial u}{\partial v_n})^{T}$ 。

   • 标量对矩阵($m\times n$ 阶矩阵)的偏导数：

     $$\frac{\partial u}{\partial \mathbf V}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial V_{1,1}}&\frac{\partial u}{\partial V_{1,2}}&\cdots&\frac{\partial u}{\partial V_{1,n}}\\ \frac{\partial u}{\partial V_{2,1}}&\frac{\partial u}{\partial V_{2,2}}&\cdots&\frac{\partial u}{\partial V_{2,n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial u}{\partial V_{m,1}}&\frac{\partial u}{\partial V_{m,2}}&\cdots&\frac{\partial u}{\partial V_{m,n}} \end{bmatrix}$$

   • 向量（$m$ 维向量）对标量的偏导数： $\frac{\partial \mathbf {\vec u}}{\partial v}=(\frac{\partial u_1}{\partial v},\frac{\partial u_2}{\partial v},\cdots,\frac{\partial u_m}{\partial v})^{T}$ 。

   • 向量（$m$ 维向量）对向量 ($n$ 维向量) 的偏导数（雅可比矩阵，行优先）

     $$\frac{\partial \mathbf {\vec u}}{\partial \mathbf {\vec v}}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial v_1}&\frac{\partial u_1}{\partial v_2}&\cdots&\frac{\partial u_1}{\partial v_n}\\ \frac{\partial u_2}{\partial v_1}&\frac{\partial u_2}{\partial v_2}&\cdots&\frac{\partial u_2}{\partial v_n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial u_m}{\partial v_1}&\frac{\partial u_m}{\partial v_2}&\cdots&\frac{\partial u_m}{\partial v_n} \end{bmatrix}$$

     如果为列优先，则为上面矩阵的转置。

   • 矩阵($m\times n$ 阶矩阵)对标量的偏导数

   $$\frac{\partial \mathbf U}{\partial v}=\begin{bmatrix} \frac{\partial U_{1,1}}{\partial v}&\frac{\partial U_{1,2}}{\partial v}&\cdots&\frac{\partial U_{1,n}}{\partial v}\\ \frac{\partial U_{2,1}}{\partial v}&\frac{\partial U_{2,2}}{\partial v}&\cdots&\frac{\partial U_{2,n}}{\partial v}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial U_{m,1}}{\partial v}&\frac{\partial U_{m,2}}{\partial v}&\cdots&\frac{\partial U_{m,n}}{\partial v} \end{bmatrix}$$

5. 对于矩阵的迹，有下列偏导数成立：

   $$\frac{\partial [tr(f(\mathbf X))]}{\partial \mathbf X }=(f^{\prime}(\mathbf X))^{T}$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X\mathbf B)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf A^{T}\mathbf B^{T}$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X^{T}\mathbf B)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf B\mathbf A$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf A\otimes\mathbf X )]}{\partial \mathbf X }=tr(\mathbf A)\mathbf I$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X \mathbf B\mathbf X)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf A^{T}\mathbf X^{T}\mathbf B^{T}+\mathbf B^{T}\mathbf X \mathbf A^{T}$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf X^{T} \mathbf B\mathbf X \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf B\mathbf X \mathbf C +\mathbf B^{T}\mathbf X \mathbf C^{T}$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf C^{T}\mathbf X^{T} \mathbf B\mathbf X \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }=(\mathbf B^{T}+\mathbf B)\mathbf X \mathbf C \mathbf C^{T}$$
   $$\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X \mathbf B\mathbf X^{T} \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }= \mathbf A^{T}\mathbf C^{T}\mathbf X\mathbf B^{T}+\mathbf C \mathbf A \mathbf X \mathbf B$$
   $$\frac{\partial [tr((\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C)(\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C))]}{\partial \mathbf X }= 2\mathbf A ^{T}(\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C)\mathbf B^{T}$$

6. 假设 $\mathbf U= f(\mathbf X)$ 是关于 $\mathbf X$ 的矩阵值函数（$f:\mathbb R^{m\times n}\rightarrow \mathbb R^{m\times n}$），且 $g(\mathbf U)$ 是关于 $\mathbf U$ 的实值函数（$g:\mathbb R^{m\times n}\rightarrow \mathbb R$），则下面链式法则成立：

   $$\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial \mathbf X}= \left(\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{i,j}}\right)_{m\times n}=\begin{bmatrix} \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{1,1}}&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{1,2}}&\cdots&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{1,n}}\\ \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,1}}&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,2}}&\cdots&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,n}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,1}}&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,2}}&\cdots&\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,n}}\\ \end{bmatrix}\\ =\left(\sum_{k}\sum_{l}\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial u_{k,l}}\frac{\partial u_{k,l}}{\partial x_{i,j}}\right)_{m\times n}=\left(tr\left[\left(\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial \mathbf U}\right)^{T}\frac{\partial \mathbf U}{\partial x_{i,j}}\right]\right)_{m\times n}$$

四、特殊函数

1. 这里给出机器学习中用到的一些特殊函数。

4.1 sigmoid 函数

1. sigmoid函数：

   $$\sigma(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)}$$
   • 该函数可以用于生成二项分布的 $\phi$ 参数。
   • 当 $x$ 很大或者很小时，该函数处于饱和状态。此时函数的曲线非常平坦，并且自变量的一个较大的变化只能带来函数值的一个微小的变化，即：导数很小。

   

4.2 softplus 函数

1. softplus函数：$\zeta(x)=\log(1+\exp(x))$ 。

   • 该函数可以生成正态分布的 $\sigma^{2}$ 参数。
   • 它之所以称作softplus，因为它是下面函数的一个光滑逼近：$x^{+}=\max(0,x)$ 。

   

2. 如果定义两个函数：

   $$x^{+}=\max(0,x)\\ x^{-}=\max(0,-x)$$

   则它们分布获取了 $y=x$ 的正部分和负部分。

   根据定义有：$x=x^{+}-x^{-}$ 。而 $\zeta(x)$ 逼近的是 $x^{+}$， $\zeta(-x)$ 逼近的是 $x^{-}$，于是有：

   $$\zeta(x)-\zeta(-x)=x$$

3. sigmoid和softplus函数的性质：

   $$\sigma(x)=\frac{\exp(x)}{\exp(x)+\exp(0)} \\ \frac {d}{dx}\sigma(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x)) \\ 1-\sigma(x)=\sigma(-x) \\ \log\sigma(x)=-\zeta(-x) \\ \frac{d}{dx}\zeta(x)=\sigma(x) \\ \forall x\in(0,1),\sigma^{-1}(x)=\log(\frac{x}{1-x}) \\ \forall x \gt 0,\zeta^{-1}(x)=\log(\exp(x)-1) \\ \zeta(x)=\int_{-\infty}^{x}\sigma(y)dy \\ \zeta(x)-\zeta(-x)=x \\$$

   其中 $f^{-1}(\cdot)$ 为反函数。

   $\sigma^{-1}(x)$ 也称作logit函数。

   

4.3 伽马函数

1. 伽马函数定义为：

   $$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dt\quad,x\in \mathbb R\\ or. \quad\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt\quad,z\in \mathbb Z\\$$

   

   性质为：

   • 对于正整数 $n$ 有： $\Gamma(n)=(n-1)!$ 。

   • $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ ，因此伽马函数是阶乘在实数域上的扩展。

   • 与贝塔函数的关系：

     $$B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

   • 对于 $x \in (0,1)$ 有：

     $$\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$$

     则可以推导出重要公式： $\Gamma(\frac 12)=\sqrt\pi$ 。

   • 对于 $x\gt 0$，伽马函数是严格凹函数。

2. 当 $x$ 足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma函数值：$\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} e^{-x}x^{x+1/2}$ 。

4.4 贝塔函数

1. 对于任意实数 $m,n \gt 0$ ，定义贝塔函数：

   $$B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$$

   其它形式的定义：

   $$B(m,n)=2\int_0^{\frac \pi 2}\sin ^{2m-1}(x) \cos ^{2n-1}(x) dx\\ B(m,n) = \int_0^{+\infty}\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{m+n}} dx\\ B(m,n)=\int_0^1\frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}}dx$$

2. 性质：

   • 连续性：贝塔函数在定义域 $m\gt0,n\gt0$ 内连续。

   • 对称性：$B(m,n)=B(n,m)$ 。

   • 递个公式：

     $$B(m,n) = \frac{n-1}{m+n-1}B(m,n-1),\quad m\gt0,n\gt1\\ B(m,n) = \frac{m-1}{m+n-1}B(m-1,n),\quad m\gt1,n\gt0\\ B(m,n) = \frac{(m-1)(n-1)}{(m+n-1)(m+n-2)}B(m-1,n-1),\quad m\gt1,n\gt1$$

   • 当 $m,n$ 较大时，有近似公式：

     $$B(m,n)=\frac{\sqrt{(2\pi)m^{m-1/2}n^{n-1/2}}}{(m+n)^{m+n-1/2}}$$

   • 与伽马函数关系：

     • 对于任意正实数 $m,n$ ，有：

       $$B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

     • $B(m,1-m)=\Gamma(m)\Gamma(1-m)$ 。